搜索理工男必看：麥克斯韋方程組的由來
2017-05-20 by:CAE仿真在線 來源:互聯(lián)網(wǎng)
美國著名物理學家理查德·費曼(Richard Feynman)曾預言:“人類歷史從長遠看,好比說到一萬年以后看回來,19世紀最舉足輕重的毫無疑問就是麥克斯韋發(fā)現(xiàn)了電動力學定律?！?
這個預言或許對吧?？墒琴M曼也知道,麥克斯韋可不是一下子就發(fā)現(xiàn)了所有有關電動力學的定律,所以如果一定要選出一個有代表性的時間,他很有可能會選1864年10月27日。那天麥克斯韋向皇家學會成員闡述了他的論文“電磁場的動力理論”。一年后麥克斯韋正式發(fā)表他這個激進的新理論。那時候整套理論還顯得很冗長,后來是他的追隨者把這個理論精煉到了四個如今著名的方程式。無論如何,把這些方程是稱為麥克斯韋方程組還是有道理的。所以我們今天要來慶祝它們150歲的生日。
1820年以前,科學家相信電和磁是截然不同的兩種現(xiàn)象。后來漢施·克里斯蒂安·奧斯特(Hans Christian Oersted)報告了一個引人注目的結果:當他把磁化的指南針放到通電導線附近時,指南針移動到了和導線垂直的角度。各處的科學家都驚呆了,立即著手研究電和磁的關聯(lián)。其中就有麥克·法拉第(Michael Faraday)。
詹姆士·克勒克·麥克斯韋是十九世紀物理學界最有影響力的人物。
法拉第是個倫敦鐵匠的兒子,自學成材。29歲的時候,他在皇家研究所漢弗萊·戴維(Humphry Davy)手下工作。作為一個分析化學家,他豎立了機智靈敏又可靠的好口碑。只有其他事情一做完,他就開始實驗電流和磁。他并不懂數(shù)學,所以至少表面看來,他比起那些同時代的接受過完好教育的人來有所欠缺。但反過來說,這種缺失卻成了他的優(yōu)勢,他比別人更能自由地思考。他問了很多別人都沒有考慮過的問題,設計了別人沒有想到過的實驗,看到了別人錯過的機會。
與他同時代的安德烈·瑪麗·安培(André Marie Ampère)以驚人的速度重復了奧斯特的實驗。沒幾個月就發(fā)展出了一整套數(shù)學理論。他說,任何一個電流環(huán)都會產(chǎn)生貫穿過這個環(huán)的磁力。安培的理論,就像此前的庫倫,是基于牛頓的萬有引力理論的。庫倫認為,在點電荷和磁極之間會即時產(chǎn)生直線狀的電力和磁力。這些力和距離的平方成反比。安培計算了把通電導線看作是無限小的電流分段串在一起,把每個無限小的電流分段當作是一個點來處理,從而計算通電導線產(chǎn)生的磁力。要算通電導線產(chǎn)生的磁力,只要把所有電流分段的效應在數(shù)學上簡單相加。
在法拉第看來,若要說奧斯特實驗中指南針是被一組直線引力以及它和導線之間排斥力驅動,那是不對的。他覺得,應該是通電導線在它的周圍空間引起了一種環(huán)形的力。他涉及了一個聰明而簡單的實驗,驗證這個想法。法拉第將一條磁鐵豎直固定在一個小臉盆中央,并將水銀倒入臉盆中,直到只有磁鐵的頂端露出來。然后他把一根導線伸到水銀中。當他通上電,導線和水銀就是電路的一部分了。與水銀接觸的導線的頂端圍繞磁鐵快速轉動。他制造了這個世界上第一個電動機。
安培已經(jīng)演示過如何從電產(chǎn)生磁——那么從磁里產(chǎn)生電當然應該有可能啦。然而十年來科學家屢試屢敗。然后到了1831年,法拉第發(fā)現(xiàn)了這個目標難以企及的原因:要想在導線里產(chǎn)生電流,你必須改變導線周圍空間里的磁場態(tài)。你只要在電路周圍移動一個磁鐵(或者反過來),那么電路就有電流了。然而空間的磁場態(tài)確切來說到底是什么呢?法拉第想起了白紙上磁鐵周圍鐵屑的分布,他確信磁鐵不只是一塊帶著有趣特性的鐵,它是整個磁力曲線在空間分布的中心,磁力線實際存在。而且,這種現(xiàn)象不僅鐵磁有:在導電電路的周圍也有相似的磁力線。
法拉第得出進一步結論。通過測試,他總結說每個帶電物體都是電力線的源頭,在空間里也會彎曲。和連續(xù)成環(huán)狀的磁力線不同(它們不終止于磁鐵,而是穿過磁鐵),電力線總是從一處的正電荷物體到另一處的負電荷物體。所以每個正電荷都和別處一個負電荷有一個平衡。他同時觀察到,無論是磁效應還是電效應,都不是即時的,都要一段時間來產(chǎn)生作用。照他的理解,這是系統(tǒng)要建立起這些電力、磁力線所需要花費的時間。
英國科學家麥克·法拉第(畫像)對麥克斯韋發(fā)展電磁統(tǒng)一理論有幫助。
法拉第和其他科學家的思維方式很不一樣。通?？茖W家仍然認為電力和磁力是由一段距離內的實質物體相互作用,而空間的作用是消極的?；始姨煳膶W家喬治比德爾艾利(George Biddell Airy)爵士評價法拉第的電力磁力線是“模糊和變化的”,他代表了當時很多人的意見。這也好理解。他們通常的遠距作用理論有一個明確的公式,而法拉第的理論卻沒有提供任何公式。雖然他們尊敬法拉第,認為他是一位超凡的實驗家,但大多數(shù)科學家覺得他不懂數(shù)學,因而缺乏理論基礎。
法拉第了解他們的這些意見,所以在發(fā)表電力磁力線理論的時候格外謹慎。只有一次他做了一次冒險。那是在1846年, 他的一個同事查爾斯·威特斯通(Charles Wheatstone)要在皇家學院演講他的發(fā)明,但臨陣怯場。于是,法拉第決定自己來做個演講。他在給定時間結束前開始講預告之外的內容。他卸下心理防備,把自己最私密的想法說了出來。他向聽眾們講述了有著驚人預見的關于光的電磁理論。他推測,全部空間都充滿著電力線和磁力線。這些線橫向振動,當受到干擾時,就會沿著線的方向以很快但有限的速度發(fā)射能量波。他說,光很可能就是光線振動的一種體現(xiàn)。
現(xiàn)在我們知道,他已經(jīng)很接近真相了。但在法拉第的那些科學家同事看來,光線振動就像奇幻傳說一樣荒唐。以至于法拉第的支持者都感到尷尬,法拉第本人也后悔松懈了思想防備。他把他同時代的人遠遠地甩在了后頭,一直等到四十年以后才有人能揭示法拉第真正的偉大。這個人有著同樣思想高度,和法拉第能力上的有著互補。這個人就是詹姆士·克勒克·麥克斯韋(James Clerk Maxwell)。
麥克斯韋職業(yè)生涯驚人而又短暫(他死時48歲)。他在他從事的每個物理分領域都做出了根本性的發(fā)現(xiàn)。但他最偉大的工作是關于電場和磁場,這點像法拉第。麥克斯韋出生于一個高貴的蘇格蘭家庭,他進了愛丁堡最好的中學,然后去了愛丁堡大學和劍橋大學。他在劍橋大學得到了數(shù)學榮譽學位考試的第二名,獲得了學士學位。這之后,他就開始閱讀有關法拉第的電學實驗。麥克斯韋一下子被法拉第的坦誠吸引了:這個偉人公開他的成功以及失敗,表達他成熟以及粗略的想法。再讀下去,麥克斯韋看到這項工作真正的力量:在尋找探究明白前,思想就有偉大飛躍。在麥克斯韋看來,線這個概念在空間上是有道理的,雖然法拉第表達起來都是用文字的,但本質上這是可以用數(shù)學表述的。他開始用數(shù)學的力量承載起法拉第的想法。九年里,他跨越了三次令人驚嘆的階段,成功了。
麥克斯韋非常善于發(fā)現(xiàn)自然界不同領域的相似性。1856年,他開始用虛擬的不可壓縮的勻速流體來類比電力線和磁力線:在空間區(qū)域的流體速度和方向代表了力線的密度和方向。如此,他就證明了靜態(tài)電力和磁力可以從傳統(tǒng)的距離之間的作用理論推導出來。這是個了不起的成就。但當時,麥克斯韋不知道如何處理變化的力線。依照他慣有的方式,他去干別的工作了,但這些想法一致在他腦中醞釀。
六年后,他有了一個新模型。他想象空間里充滿著小球,這些小球可以旋轉,它們被更小的粒子在空間上間隔開。那些小粒子就像是鋼珠軸承。麥克斯韋假設這些小球質量很小但有限,并有一定的彈性。如此一來,就可以把電力線和磁力線和機械系統(tǒng)作類比。因而任何一個小球的變化都會引起了其他小球的變化。這個杰出的模型導出了所有著名的電磁方程,它預言電磁波的傳播速度只由電磁基本性質決定。這個速度和實驗測到的光速只相差1.5%。這是個驚人的結果,但科學家卻都沒對此表態(tài)。他們相信,任何物理分領域,都是以認清自然真實規(guī)律為目標的。他們覺得麥克斯韋的模型并沒有原創(chuàng)性,用這個模型嘗試對電磁和光作解釋是有缺陷的。所有人都預計麥克斯韋下一步就是要完善這個模型。但他沒有,他把模型放到一邊,只運用動力原理,從頭開始搭建這個理論。
兩年后,研究成果被發(fā)表在“電磁場的動力理論”這篇論文中。在這個模型里,無處不在的媒介取代了此前模型中的旋轉粒子。媒介具有慣性和彈性,但他對其機械特性沒有詳述。就像變戲法,他運用了約瑟夫·路易斯·拉格朗日(Joseph Louis Lagrange)的方法,把動力系統(tǒng)看成一個“黑箱”:只要描述了這個系統(tǒng)的一些通常特征,就可以在不知道具體機理的情況下,通過輸入推導出輸出。如此,他就有了電磁場方程組,一共有20個方程。1864年10月,他在皇家學會講述他的這篇論文,聽眾們簡直不知道該拿它如何是好。一個理論建立在奇怪的模型上已經(jīng)夠糟糕了,而一個理論不以任何模型為基礎,那就根本無法讓人理解。
直到1879年麥克斯韋過世,又過了數(shù)年,他的理論都沒有人能夠真正理解,就好似在玻璃箱中的展示,廣受仰慕卻無人能夠接近。后來是自學成才做過電報員的奧利弗·亥維賽(Oliver Heaviside )讓這套理論變得可以親近。1885年,他把這套理論總結為我們現(xiàn)在所知的四個麥克斯韋方程:
這里 E 和 H 分別是空間任意點電場力和磁場力的矢量, ε 和 μ 分別電和磁的基本常量,ρ 是電荷密度, J 是電流密度矢量。頭兩個方程簡潔表述了電和磁的平方反比定律。第三、四個方程定義了電和磁之間的關系,說明電磁波存在并以1/√(με) 的速度傳播。
亥維賽運用矢量分析大大簡化了方程的表達。三維矢量用一個字母表示,把電勢和磁矢勢都推到幕后。1888年,海因里?！ず掌?Heinrich Hertz)發(fā)現(xiàn)電磁波極大地推動了人們對電磁理論的興趣。人們求助于亥維賽的精煉版本,而非麥克斯韋最初的表述。
要把故事講完整,還要加上三點內容。第一,麥克斯維其實很容易就可以把理論簡化壓縮,但是他覺得最好還是保持一定的開放性。許多年后,他的智慧顯現(xiàn)了:理查德·費曼和其他人發(fā)展量子電動力學,就是利用了被亥維賽剔除的原始狀態(tài)下的勢能量。第二點,是麥克斯韋命名了運算符號,比如散度和旋度。第三,麥克斯韋事實上在他的《關于電和磁的論文》一文中已經(jīng)用了矢量,只不過他把矢量表達看作是一種額外的選擇。他的矢量是從威廉·羅萬·哈密頓(William Rowan Hamilton)復雜的四元數(shù)推導而來。大多數(shù)人都不想用這么復雜的矢量系統(tǒng),直到亥維賽推出簡便許多的系統(tǒng)他們才開始接受。
最后想想這點:雖然麥克斯韋從來沒有刻意去追求,但他的方程組揭示了光速是1/√(με),和觀察者、光源的相對速度都沒有關系。這引導出了愛因斯坦的狹義相對論,E = mc2。 所以說,或許這個世界上最著名的公式就應該是 E = m/με。這樣才能體現(xiàn)愛因斯坦和麥克斯韋共同的貢獻。
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